(a, b) = 0, лишь если а = 0 или (и) b = 0 или a ^ b.

Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т. е. координатами векторов в базисе, состоящем из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов) i, j, k (ортонормированный базис). Скалярное произведение векторов:

A = {a1, a2, a3} и b = {b1, b2, b3},

заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле:

(a, b) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3.

Косинус угла j между ненулевыми векторами a = {a1, a2, a3} и b = {b1, b2, b3}

может быть вычислен по формуле:

где и

Косинусы углов вектора a = {a1, a2, a3} с векторами базиса i, j, k называют направляющими косинусами вектора а:

, ,

Направляющие косинусы обладают следующим свойством:

cos 2 a +cos 2 b +cos 2 g =1.

Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией пр. е а вектора a на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а на вектор е. Проекции обладают свойствами:

Пр. е (a + b) = Пр. еa+ Пр. еb (аддитивность);

Пр. е a = Пр. е l a (однородность).

Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса.

В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a, b, c — левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой