равенства (1) следует, что числа a , b ,…, g равны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов/

Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e1, e2, e3 трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис. Любой вектор а единственным образом представляется в виде суммы:

A = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3.

Числа a1, a2, a3 называют координатами (компонентами) вектора а в данном базисе и пишут a = {a1, a2, a3}.

Два вектора a = {a1, a2, a3} и b = {b1, b2, b3} равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе. Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов a = {a1, a2, a3} и b = {b1, b2, b3}, b ≠ 0, является пропорциональность их соответствующих координат: a1 = l b1, a2 = l b2, a3 = l b3 . Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a = {a1, a2, a3}, b = {b1, b2, b3} и c = {c1, c2, c3} является равенство:

| a 1 a 2 a 3 |;

| b 1 b 2 b 3 | = 0 ;

| c 1 c 2 c 3 |.

Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами. Координаты суммы векторов a = {a1, a2, a3} и b = {b1, b2, b3} равны суммам соответствующих координат: a + b = {a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3}. Координаты произведения вектора а на число l равны произведениям координат а на l:

l а = {l а1, l a2, l a3}.

Скалярным произведением (а, b) ненулевых векторов а и b называют произведение их модулей на косинус угла j между ними:

(а, b) = | а |*| b | cos j

За j принимается угол между векторами, не превосходящий p . Если а = 0 или b = 0, то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение обладает свойствами:

(a, b) = (b, а) (коммутативность);

(a, b + с) = (a, b) + (а, с) (дистрибутивность относительно сложения векторов);

l (a, b) = ( l a, b) = (a, l 6) (сочетательность относительно умножения на число);