Векторная алгебра

Векторная алгебра — раздел векторного исчисления, в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.

Суммой a + b векторов a и b называют вектор, проведенный из начала a к концу b, если конец a и начало b совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами:

A + b = b + a (коммутативность);

(а + b)*с = а*(b + с) (ассоциативность);

a + 0 = a (наличие нулевого элемента);

a + (-a) = 0 (наличие противоположного элемента),

где 0 — нулевой вектор; -a — вектор, противоположный вектору а. Разностью a - b векторов a и b называют вектор x такой, что x + b = a.

Произведением l x вектора а на число l в случае l ≠ 0 , а ≠ 0 называют вектор, модуль которого равен | l ||a| и который направлен в ту же сторону, что и вектор a, если l > 0, и в противоположную, если l < 0 . Если l = 0 или (и) a = 0, то l a = 0. Операция умножения вектора на число обладает свойствами:

l *(a + b) = l *a + l *b (дистрибутивность относительно сложения векторов);

( l + u)*a = l *a + u*a (дистрибутивность относительно сложения чисел);

l *(u*a) = (l *u)*a (ассоциативность);

1*a = a (умножение на единицу).

Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство).

В векторной алгебре важное значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы а, b, … , c называются линейно зависимыми векторами, если существуют числа a , b ,…, g из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство:

a a +  b b +… g c = 0. (1).

Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов а, b, ..., c нулевой, то они линейно зависимы. Векторы a, b, .., c называются линейно независимыми, если из