Действительно, предположим, что стратегия u* неэффективна, так что существует стратегия u' > u*. Но стратегия u' также удовлетворяет всем ограничениям S) задачи (1) и доставляет критерию K_S значение Q_s; иначе говоря, u' оказывается решением этой задачи, что противоречит условию единственности u*. Утверждение доказано.

Можно доказать также, что если UМRⁿ замкнуто и ограничено, К_r непрерывны на U, а стратегия, являющаяся решением S) задачи (1), единственна с точностью до эквивалентности, то любая максимизирующая последовательность, служащая решением S), эффективна.

Пример 2

Пусть UМRⁿ — выпуклое множество, а все К_r квазивогнуты. При этих условиях множество стратегий, удовлетворяющих ограничениям r) задачи (1), также выпукло (r = 1, 2, ..., S), так что каждая из задач 1), 2),..., S) является задачей квазивогнутого программирования.

Если K_s строго квазивогнут, то решением задачи S) может служить лишь единственная и потому эффективная стратегия; если же при этом U замкнуто и ограничено, а все К_r непрерывны на U, то любая максимизирующая последовательность, являющаяся решением S), эффективна.

Пример 3

Предположим, что из многогранника U задачи, описанной в примере 1, удалена вся грань А'В'С', но оставлена точка В. Теперь эта точка оказывается единственным решением 3) задачи (1). Здесь точка В, конечно, эффективна. Любая, сходящаяся к ней последовательность внутренних точек многогранника, удовлетворяющих ограничениям задачи 3), будет максимизирующей для K_s, но не будет эффективной. Указанное положение — следствие незамкнутости рассматриваемого в данном примере множества U.

В связи с тем, что не всегда стратегия, полученная с помощью метода последовательных уступок, является эффективной, возникает и такой вопрос: обязательно ли среди множества стратегий, выделяемых этим методом, существует хотя бы одна эффективная?

В общем случае на этот вопрос положительный ответ дать нельзя, однако имеет место такое утверждение: если UМRⁿ — множество замкнутое и ограниченное, а все К_r непрерывны, то решением S) задачи (1) служит по крайней мере одна эффективная стратегия.