Основные теоремы математического анализа

Окрестностью точки Хо называется любой интервал, содержащий эту точку.

Проколотой окрестностью точки Хо называется окрестность точки Хо, из которой выброшена сама точка.

Окрестностью "+" бесконечности называется любой полубесконечный промежуток вида (а; +).

Окрестностью "-" бесконечности называется любой полубесконечный промежуток вида (-; b).

Окрестностью бесконечности называется объединение двух любых окрестностей + и -.

Функция f(х) называется бесконечно малой в окрестности точки Хо, если для любого числа > 0 существует проколотая окрестность точки Хо такая, что для любого числа Х, принадлежащего проколотой окрестности точки Хо выполняется неравенство іf (х) і< > 0 U U => іf(x) і<.

Число А называется пределом функции f(х) в точке Хо, если в некоторой проколотой окрестности этой точки функцию f(х) можно представить в виде f(х) = А + (х), где (х) — бесконечно малое в окрестности точки Хо.

Limf (x) = А Функция f(х) называется непрерывной в точке Хо, если в некоторой окрестности точки Хо эту функцию можно представить в виде: f (х) = f (х) + (х), где (х) — бесконечно малое в окрестности точки Хо.

Иными словами, f (х) — непрерывна в точке Хо, если она в этой точке имеет предел, и он равен значению функции.

Теорема

Все элементарные функции непрерывны в каждой точке области определения.

Схема:

1.               функция элементарна

2.               определена

3.               непрерывна

4.               предел равен значению функции

5.               значение функции равно 0.

6.               можно представить в виде бесконечно малого.

Свойства бесконечно малых