Из теоремы непосредственно следуют важные свойства параллелепипеда:

1.               Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. A₁O = OC, B₁O = OD, D₁O = OB, AO = OC₁, а также MO = ON, где M ` A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub>, N ` ABCD, O ` MN.

2.               Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны. AA₁D₁D = BB₁C₁C, (AA₁D₁) (BB₁C₁).

Рассмотренными свойствами обладает произвольный параллелепипед. Докажем одно свойство прямоугольного параллелепипеда.

Теорема. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадрата трех его измерений.

Дано: АС₁ — прямоугольный параллелепипед, AB = a , AD = b , AA₁ = c — его измерения, AC₁ = d — длина его диагонали.

Доказать: d₂ = a₂ + b₂ + c₂.

Доказательство. Введем систему координат, приняв за ее начало вершину А, за произвольный базис тройку векторов  V,  b,  c. Тогда вектор AC имеет координаты (a; b; c), и, следовательно, e: AC₂ = d₂ = a₂ + b₂ + c₂ .

Теорема доказана.

3. Симметрия в пространстве

Теорема, в которой утверждается, что все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке О, в которой они делятся пополам, напоминает аналогичное предложение из планиметрии: диагонали параллелограмма пересекаются в точке О, являющейся их серединой. Точка О — это центр симметрии параллелограмма. Аналогично называют и точку О центром симметрии параллелепипеда, так как вершины А и С₁, В и D₁, С  и  А₁, D и В₁ симметричны относительно точки О. Впервые понятие центра симметрии встречается в ХVI в. в одной из теорем Клавиуса, гласящей: если параллелепипед рассекается плоскостью, проходящей через центр, то он разбивается пополам и, наоборот, если параллелепипед рассекается пополам, то плоскость проходит через центр. Лежандр, который впервые ввел в элементарную геометрию элементы учения о симметрии, говорит только о симметрии относительно плоскости и дает следующее определение: две точки A и B симметричны относительно плоскости a, если последняя перпендикулярна к АВ в середине