Термин “параллелепипедальное тело” встречается впервые у Евклида и означает дословно “параллелеплоскостное тело”. Греческое слово “кубос” употребляется Евклидом в том же смысле, что и наше слово “куб”.

2.7. Параллелепипед

Определение. Призма, основание которой — параллелограмм, называется параллелепипедом.

В соответствии с определением параллелепипед — это четырехугольная призма, все грани которой — параллелограммы. Параллелепипеды, как и призмы, могут быть прямыми и наклонными.

Прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник, называют прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники. Моделями прямоугольного параллелепипеда служат классная комната, кирпич, спичечная коробка.

Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общий конец, называют его измерениями. Например, имеются спичечные коробки с измерениями 15, 35, 50 мм. Куб — прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все шесть граней куба — равные квадраты.

Рассмотрим некоторые свойства параллелепипеда.

Теорема. Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.

Дано: АС₁ — произвольный параллелепипед, В₁D — его диагональ, точка О — середина этой диагонали.

Доказать: Z₀ (AC₁) = AC₁.

Доказательство. Рассмотрим центральную симметрию Z₀ с центром в точке О. Центральная симметрия — перемещение (сохраняет расстояния), отображающее каждый луч на противоположный ему луч. Поэтому

B₁ = Z₀ (D), B₁C₁ = Z₀ (DA), DA = B₁C₁, C₁ = Z₀ (A).

Аналогично можно показать, что точки D₁ и В, А₁ и С также центрально-симметричны. Таким образом, симметрия отображает поверхность параллелепипеда на себя. Внутренность параллелепипеда также отображает на себя (параллелепипед можно рассматривать как пересечение полупространств, образованных плоскостями его граней, а перемещение отображает пересечение фигур на пересечение их образов).

Таким образом, центральная симметрия Z₀ отображает параллелепипед на себя: Z₀ (AC₁) = AC₁ . Теорема доказана.