В конце XVIII – начале XIX вв. было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число  точкой на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой M, а вектором , идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор  можно задавать не только его координатами a и b, но и длиной r, углом j, который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом ,  и число z принимают вид , который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают . Число φ называют аргументом z и обозначают ArgZ. Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде .

Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного числа, расширило область их применения.

Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании “гиперкомплексных” чисел — чисел с несколькими “мнимыми” единицами. Такую систему вида , где , построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон. Гиперкомплексные числа он назвал “кватернионами”. Правила действия над кватернионами напоминают правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности (переместительности): например, , а .

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые. Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев — к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров — к проблемам квантовой теории поля.