неожиданного и оригинального способа доказательства теоремы Гордана, годного одновременно для форм от любого числа неизвестных. Эта работа была первым примером черты, характерной для мышления Гильберта, как выразился позже один из его учеников: “Естественная наивность мысли, не покоящаяся на авторитете или предшествующем опыте”. Вскоре после опубликования полного доказательства теоремы знаменитый ”король инвариантов” Гордан изумленно воскликнул: “Это не математика. Это теология!”

Решение Гильберта не было конструктивным, оно лишь доказывало существование базиса, но не давало явной конструкции для его построения. В последующие два года Гильберт не оставляет проблему Гордана, пытаясь дать ей конструктивное доказательство. В 1892 году ему удалось предложить метод, позволяющий за конечное число шагов получить искомую конструкцию.

Хотя Гильберт не был первым, кто использовал косвенные, неконструктивные доказательства, он был первым, кто осознал их глубокое значение и силу, а также смог воспользоваться ими в драматических и чрезвычайно красивых ситуациях.

При решении проблемы Гордана Гильберт нашел себя и свой метод атаки знаменитой проблемы, решение которой по своему значению намного превосходило саму проблему.

В заключении своей работы по теории инвариантов он писал: “Тем самым мне кажется, что важнейшие цели теории функциональных полей инвариантов достигнуты”. После этого Гильберт покидает теорию инвариантов.

Теория чисел

В последующие три года Гильберт повышался в академических рангах и делал то, что делает в этот период времени большинство молодых людей: женился, стал отцом, получил важное назначение. Наряду с переменами в личной жизни и общественном положении Гильберт начал проявлять и новый математический интерес. “Отныне я целиком посвящу себя теории чисел”, — писал он своему другу Минковскому вскоре после окончания последней работы об инвариантах. Теперь он занялся этой новой областью.

Хорошо известно, что Гаусс считал теорию чисел вершиной науки. Он отозвался о ней как о “неистощимом источнике новых истин”. Гильберт относился к теории чисел как к “зданию редкой красоты и гармонии”, его привлекала красота ее фундаментальных законов, малое количество определений и чистота ее истин.