теория широко известна как теория гильбертова пространства. Из-за своей крайней общности проблема, которой он теперь занимался, казалась почти недоступной даже для Гильберта. Но он смело принялся за нее. В результате всех усилий через несколько лет Гильберт представил Германскому научному обществу свою теорию бесконечно многих переменных. В ней он последовательно развивает общую теорию таких пространств, а также доказывает одну из самых великих своих теорем — спектральную. Эта теорема, подобно теореме о приведении квадратичной формы к сумме квадратов в конечномерных пространствах, позволяет классифицировать так называемые самосопряженные операторы в бесконечномерных пространствах.

Физика

В 1912 году, несмотря на свой пятидесятилетний возраст, Гильберт начинает заниматься совершенно новой для него наукой — физикой. Как математика, его сильно беспокоило отсутствие порядка в триумфальных успехах физиков. Главной целью Гильберта было поставить на прочную аксиоматическую основу все достижения, которых добилась физика за последние годы.

Гильберт занимается физикой вплоть до 1922 года. Урожай, собранный им на этом поле, вряд ли может сравниться с его достижениями в чистой математике. Многообразие экспериментальных фактов, которым приходится принимать во внимание физику, является огромным, их увеличение происходит слишком быстро, а значение и относительный вес слишком изменчивы, чтобы аксиоматический метод смог найти здесь себе твердую опору, разве что это возможно в каких-нибудь прочно установившихся областях физической науки. Поэтому обширным планам Гильберта в области физики так и не суждено было свершиться.

Однако применение им интегральных уравнений в кинетической теории газов и элементарной теории излучения представляет собой значительное достижение. В частности, его асимптотическое решение фундаментального уравнения Масквелла – Больцмана, интегрального уравнения второго порядка, четко разделило два слоя экспериментальных физических законов, к которым приводит эта теория. В своих исследованиях по общей теории относительности Гильберт соединил теорию гравитации Эйнштейна с программой по единой теории поля Г. Ми. Работа Гильберта может рассматриваться как предвестник единой теории гравитации и электромагнетизма.