Пользовательского поиска
|
Зимой
1900 – 1901 гг. один студент из Швеции принес на семинар Гильберта недавно
опубликованную работу по интегральным уравнениям, принадлежавшую его
соотечественнику Ивару Фредгольму.
Интегральные
уравнения — это функциональные уравнения специального типа, история которых
тесно связана с задачами математической физики, в частности с проблемой
колебания твердого тела. Теория таких уравнений развивалась очень медленно.
Однако теперь Фредгольм дал красивое и оригинальное решение одного класса таких
уравнений, которое открывало соблазнительную аналогию между интегральными
уравнениями и алгебраическими линейными уравнениями.
Интегральные
уравнения полностью захватили Гильберта. Отныне он говорил со своими студентами
только об интегральных уравнениях. Начало его исследований напоминало прежний
подход Гильберта к нерешенным задачам. В первой работе, опубликованной в виде
сообщения Геттингенского научного общества, он предложил один простой и
оригинальный вариант теории Фредгольма, который раскрывал ее основную идею
более отчетливо, чем работа самого Фредгольма. В ней также можно было найти
намеки на его будущие свежие и плодотворные идеи. Обладая интуитивным
пониманием связей, лежащих в основе различных частей математики, а также между
математикой и физикой, Гильберт пришел к выводу, что уравнения Фредгольма
смогут приоткрыть завесу над целой серией ранее недоступных проблем анализа и
математической физики. Теперь он поставил перед собой цель объединить на
единообразной теоретической основе как можно больший круг вопросов, связанных с
линейными задачами анализа.
В
1904 году Гильберт посылает второе сообщение научному обществу, в котором
существенно развивает идею Фредгольма. В своей классической работе Фредгольм
открыл аналогию между интегральными уравнениями и линейными алгебраическими
уравнениями. Гильберт пошел теперь дальше и нашел аналог приведения
квадратичной формы от n переменных к главным осям. Используя связанную с этим
комбинацию идей анализа, алгебры и геометрии, он развил свою теорию собственных
функций и собственных значений. Эта теория, как выяснилось позже, оказалась
тесно связанной с физической теорией собственных колебаний.
Гильберт идет дальше и работает над теорией бесконечно многих переменных, которой суждено будет стать венцом его занятий анализом. Эта