Одно дело — построить геометрию на прочном основании, и совсем другое — исследовать логическую структуру построенного сооружения. Гильберт систематически изучает взаимную независимость своих аксиом и устанавливает независимость некоторых из самых фундаментальных геометрических теорем от той или иной ограниченной группы аксиом. Его метод основан на построении моделей: показывается, что модель противоречит одной из аксиом и удовлетворяет требованиям всех остальных, из чего следует, что первая не может быть следствием остальных. Вопрос о непротиворечивости тесно связан с вопросом о независимости. Относящиеся сюда общие идеи кажутся нам теперь почти банальными, настолько радикальным оказалось их влияние на наше математическое мышление. В 1899 году публикуется классическая книга Гильберта “Основания геометрии”, в которой он систематически излагает все полученные им результаты.

Принцип Дирихле

Летом 1899 года, сразу после издания “Оснований геометрии“, Гильберт обратился к одной старой знаменитой проблеме, известной как принцип Дирихле. Суть этой проблемы составляла одна логическая трудность, на которую стали обращать внимание только со времен Вейерштрасса. Гаусс, Дирихле, Риман и другие предполагали, что всегда существует решение так называемой краевой задачи для уравнения Лапласа. Это предположение было основано на физической интуиции, позволяющей всегда считать, что в соответствующей реальной ситуации, описываемой этой краевой задачей, должен быть определенный физический результат, а значит, и решение. Кроме того, с чисто математической стороны Гаусс заметил, что краевая задача для этого же уравнения может быть сведена к задаче минимизации некоторого двойного интеграла от функций с непрерывными частными производными, имеющих заданные граничные значения. В силу положительности этого двойного интеграла должна была существовать наибольшая нижняя грань для его значений, из чего он делал вывод, что для одной из рассматриваемых функций этот интеграл принимал значение этой грани. Рассуждение такого рода стало известно под названием принципа Дирихле. Однако позже Вейерштрасс подверг критике принцип Дирихле. Как указывал Вейерштрасс, предположение о том, что среди допустимых функций должна существовать та, на которой интеграл принимает наименьшее значение, не является обоснованным с математической точки