лекций, согласованных с пожеланиями Клейна. В первом семестре он читал курсы по теории определителей и эллиптических функций, а также вместе с Клейном каждое утро по средам вел семинар по действительным функциям.

Закончив свой обзор, Гильберт занялся давно задуманными собственными исследованиями. Главным его интересом было обобщение закона взаимности на поля алгебраических чисел. В классической теории чисел квадратичный закон взаимности, известный еще Лежандру, был вновь открыт и впервые строго доказан Гауссом, когда тому было 18 лет. Гаусс всю жизнь считал его жемчужиной теории чисел и возвращался к нему много раз, найдя пять различных доказательств. Этот закон описывает замечательные соотношения между парой простых чисел и остатками от деления квадратов целых чисел на них.

Изучая классический закон взаимности Гаусса, Гильберт смог переформулировать его в простой и красивой форме, которая имела смысл и для полей алгебраических чисел. Это позволило ему с необычайной ясностью угадать формулировку закона взаимности для степеней, больших 2, хотя он и не смог доказать его во всех случаях. Венцом его работы в этой области была статья ”О теории относительно абелевых полей”. В этой работе, программной по своему характеру, он дал набросок обширной теории, получившей известность как теория полей классов, и развил методы и понятия, необходимые для дальнейших исследований. Будущим математикам это казалось “божественным откровением” — ни в одной из работ Гильберта не была так явно продемонстрирована его математическая интуиция. В отличие от работы, положившей конец развитию теории инвариантов, работе по полям алгебраических чисел было суждено стать началом исследований. Сам Гильберт неожиданно перешел в другую область.

Основания геометрии

Новым увлечением Гильберта стала геометрия. Начав читать курс лекций по этой науке, Гильберт предложил положить в основания геометрии простой и полный список независимых аксиом, позволяющий доказать давно известные теоремы классической геометрии Евклида. Его подход — оригинальное сочетание абстрактной точки зрения и конкретного традиционного языка — был особенно эффективным. Выбрав систему аксиом евклидовой геометрии, немногим отличавшуюся по духу от аксиом самого Евклида, Гильберт смог менее формально и с большей убедительностью и ясностью, чем Пеано или Паш, продемонстрировать существо аксиоматического метода.