Пользовательского поиска
|
символов
можно использовать буквы латинского алфавита), правила манипулирования с
которыми, задаются следующими условиями, называемыми аксиомами группы:
·
(G1) из двух элементов x и y можно
составить новый графический символ x•y;
·
(G2) графические символы (x•y)•z и x•(y•z)
являются взаимозаменяемыми;
·
(G3) среди элементов группы имеется
элемент, называемый нейтральным, который обозначим e , такой, что содержащие
его графические символы x•e , e•x и x являются взаимозаменяемыми;
·
(G4) вместе с элементом x имеется элемент,
называемый обратным для x, обозначим его x', такой, что символы x•x', x'•x и e
являются взаимозаменяемыми.
Во
всех аксиомах x, y и z — произвольные элементы группы. Доказательства
каких-либо утверждений относительно групп представляют собой разворачивание
определенных квазигеометрических конструкций. Это демонстрация определенных
особенностей манипуляции с графическими символами при соблюдении указанных
правил. Рассмотрим, например, как производится доказательство того, что нейтральный
элемент единственный.
Демонстрируется,
что любые два графических символа, изображающие нейтральный элемент,
взаимозаменяемы. В самом деле, пусть это символы e и f. Тогда, согласно правилу
(G3), f взаимозаменяем с e•f, а этот последний символ — с e, следовательно, e и
f взаимозаменяемы. Перед нами манипуляционное обоснование, в основе которого
всегда лежат простейшие манипуляции, типа “подставить вместо”, являющиеся
неформальными, геометрически очевидными действиями. Понимание того, что они обозначают,
всегда негласно предполагается.
Н.
Малкольм сохранил следующую мысль Витгенштейна: “Доказательство в математике
заключается в том, что уравнение записывают на бумаге и смотрят, как одно
выражение вытекает из другого. Но если всегда подвергать сомнению выражения,
которые появляются на бумаге, то не может существовать ни доказательств, ни
самой математики”. Вспоминаются также слова Г. Вейля: “Способ, каким математик
обращается со своими формулами, построенными из знаков, немногим отличается от
того, как столяр в своей мастерской обращается с деревом и рубанком, пилой и
клеем”.