(*).

Равенство (*) справедливо для любого множества f(x), поэтому заменим многочлен f(x) на , получим:

.

Слева мы получили характеристический многочлен для матрицы f(A), разложенный справа на линейные множители, откуда следует, что  — собственные значения матрицы f(A).

ЧТД

Свойство № 2

Пусть матрица  и  — собственные значения матрицы А, f(x) — произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда собственные значения матрицы f(A) равны .

Доказательство

Т. к. функция f(x) определена на спектре матрицы А, то существует интерполяционный многочлен матрицы r(x) такой, что , а тогда f(A) = r(A), а у матрицы r(A) собственными значениями по свойству № 1 будут , которым соответственно равны .

ЧТД

Свойство № 3

Если А и В подобные матрицы, , т. е. , и f(x) — произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда .

Доказательство

Т. к. А и В подобны, то их характеристические многочлены одинаковы, одинаковы и их собственные значения, поэтому значение f(x) на спектре матрицы А совпадает со значение функции f(x) на спектре матрицы В, причем существует интерполяционный многочлен r(x) такой, что f(A) = r(A), ,  > .

ЧТД

Свойство № 4