Построим f(H₁). Найдем минимальный многочлен H₁ — последний инвариантный множитель [xE - H₁]:

,

d_n-1 = x²; d_n-1 1;

m_x = f_n (x) = d_n (x) / d_n-1 (x) = xⁿ.

0 – n — кратный корень m(x), т. е. n-кратные собственные значения H₁.

, r(0) = f(0), r’(0) = f’(0), …, r(^n-1) (0) = f(^n-1) (0).

.

Свойства функций от матриц

Свойство № 1

Если матрица  имеет собственные значения  (среди них могут быть и кратные), а , то собственными значениями матрицы f(A) являются собственные значения многочлена f(x): .

Доказательство

Пусть характеристический многочлен матрицы А имеет вид:

, , .

Посчитаем .

Перейдем от равенства к определителям: .

Сделаем замену в равенстве: