Для ненулевой неприводимой матрицы А рассмотрим действительную функцию r(x), определенную для ненулевых векторов  следующим образом: , (Ax)_i — i-я координата вектора Ах .

Из определения следует, что  и, кроме того, r(x) — такое наименьшее значение , что .

Очевидно, что r(x) инвариантна относительна замены x на , поэтому в дальнейшем можно рассматривать замкнутое множество , такое .

Однако r(x) может иметь разрывы в точках, где координата x обращается в 0, поэтому рассмотрим множество векторов  и обозначим .

По лемме № 1 каждый вектор из N будет положительным, а поэтому , т. е.  для .

Обозначим через  наибольшее число, для которого , .  — спектральный радиус матрицы А. Если , можно показать, что существует вектор y, что .

Замечание

Могут существовать и другие векторы в L, для которых r(x) принимает значение r, поэтому любой такой вектор называется экстремальным для матрицы А (Az = rz).

Интерес к числу r объясняется следующим результатом.

Лемма № 2

Если матрица  неотрицательна и неприводима, то число  является собственным значением матрицы А, кроме того каждый экстремальный вектор для А положителен и является правым собственным вектором для А, отвечающим собственному значению r.

Основным результатом является теорема Фробениуса – Перона для непрерывных матриц.