.

DF

Говорят, что любой направленный граф связен, если для каждой пары точек  существует направленный путь .

Легко доказать, что квадратная матрица неприводима тогда и только тогда, когда ее граф является связным.

Теорема Фробениуса – Перона

Очевидно, что если , то для . Более того, мы покажем, что для достаточно больших p .

Лемма № 1

Если матрица  неотрицательна и неприводима, то .

Доказательство

Если взять произвольный вектор  и , то .

И пусть вектор  имеет место, очевидно, что Z имеет по крайней мере столько же нулевых положительных элементов, что и y.

В самом деле, если предположить, что Z имеет меньше нулевых компонент, то обозначим , тогда  и, разбив матрицу А на блоки следующим образом

, мы будем иметь .

Учитывая, что , то , тогда получаем, что , что противоречит неприводимости матрицы.

Для следующего вектора повторим рассуждения и т. д. В итоге получим, что для некоторого ненулевого вектора y .

ЧТД