Пользовательского поиска
|
числом
положительных собственных значений, сигнатура. Эти числа r, p, гр-r не зависят
от тех преобразований, которые совершаются над данными формами.
В
дальнейшем ограничимся рассмотрением только квадратичных форм. Нас интересуют 2
семейства матриц.
DF
Действительная
симметрическая матрица А называется положительно определенной, если для .
DF
Действительная
симметрическая матрица А называется неотрицательно определенной, если для .
Оба
типа матриц относятся к классу определенных матриц. Заметим, что положительно
определенная матрица невырожденная, т. е. если предположить, что она
вырожденная, то ,
,
что противоречит условию.
Теорема № 1
Действительная
симметрическая матрица n-го порядка будет определенной ранга тогда и только тогда, когда она имеет r
положительных собственных значений, а остальные (n-r) — собственные значения
равны 0.
Теорема № 2
Действительная
симметрическая матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все
ее главные миноры положительны.
Неотрицательные
матрицы
Матрица
называется неотрицательной, если каждый ее
элемент положителен.
Квадратные
матрицы такого типа возникают во множестве задач, и это определяющее свойство
приводит к сильным результатам об их строении. Теорема Фробениуса – Перона
является основным результатом для неотрицательных матриц.
Пусть
матрицы .
Будем говорить, что ,
если ,
в частности, A > B, если .