одинаковые матричные значения g_i (A). Потребуем, чтобы определение значения f(A) в общем случае подчинялось такому же принципу.

Значения функции f(x) на спектре матрицы А должны полносильно определить f(A), т. е. функции, имеющие одни и те же значения на спектре должны иметь одно и то же матричное значение f(A).

Очевидно, что для определения f(A) в общем случае, достаточно найти многочлен g(x), который бы принимал те же значения на спектре А, что и функция f(A) = g(A).

Df

Если f(x) определена на спектре матрицы А, то f(A) = g(A), где g(A) — многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и f(A), .

Df

Значением функции от матрицы А назовем значение многочлена от этой матрицы при .

Среди многочленов из С [x], принимающих одинаковые значения на спектре матрицы А, что и f(x), степени не выше (m-1), принимающей одинаковые значения на спектре А, что и f(x) — это остаток от деления любого многочлена g(x), имеющего те же значения на спектре матрицы А, что и f(x) на минимальный многочлен m(x) = g(x) = m(x) * g(x) + r(x).

Этот многочлен r(x) называют интерполяционным многочленом Лагранжа – Сильвестра для функции f(x) на спектре матрицы А.

Замечание

Если минимальный многочлен m(x) матрицы А не имеет кратных корней, т. е. , то значение функции на спектре .

Пример:

Найти r(x) для произвольной f(x), если матрица

.