.

Найдем сопутствующие матрицы:

.

Спектральное разложение функции f(A)

Спектральное разложение для f(A) имеет важное значение и, очевидно, тесно примыкает к спектральной теореме для простых матриц.

Пусть дана матрица  и пусть , .

Теорема

Если , а функция f(x) определена на спектре матрицы А и  — значение j-й производной от f(x) в собственном значении , где , , то существуют такие независимые от f(x) матрицы , что (1) , причем  коммутирует с матрицей А и образует линейно независимую систему в пространстве .

Доказательство

Заметим, что и , где  — базисные многочлены, принимающие одинаковые значения на спектре матрицы А,  (3).