Алгебраическая кратность собственного значения не меньше его геометрической кратности.

DF

Матрица  называется простой, если алгебраическая кратность каждого ее собственного значения совпадает с его геометрической кратностью.

Из линейной алгебры следует, что матрица  простая тогда и только тогда, когда .

Если матрица А простая, тогда существует n линейно независимых собственных векторов x₁, x₂, …, x_n таких, что , для .

Запишем это равенство в матричном виде:

, т. е. А — простая тогда и только тогда, когда и .

Замечание

Обратим внимание на то, что собственные значения А и А’ совпадают. Действительно, собственные значения для А’ — это значения .

Таким образом характеристические многочлены матриц совпадают. Размерность , тогда .

Поэтому, если  — собственное значение матрицы А, то и  является собственным значением матрицы А’, т. е. существует , что  (*) или .

Транспонируем (*) и получим  (транспонируем это равенство).

В этом случае  называют левым собственным вектором матрицы А. Соответственно,  называют правым собственным подпространством,  — левым собственным подпространством.

Рассмотрим следующую конструкцию: если матрица А простая, то существует n линейно независимых собственных векторов x₁, x₂, …, x_n и существует n линейно независимых собственных векторов y₁ , y₂,…,y_n, где x₁, x₂,