Математическая строгость

Примерно до 1870 математики пребывали в убеждении, что действуют по предначертаниям древних греков, применяя дедуктивные рассуждения к математическим аксиомам, тем самым обеспечивая своими заключениями не меньшую надежность, чем та, которой обладали аксиомы. Неевклидова геометрия и кватернионы (алгебра, в которой не выполняется свойство коммутативности) заставили математиков осознать, что то, что они принимали за абстрактные и логически непротиворечивые утверждения, в действительности зиждется на эмпирическом и прагматическом базисе.

Создание неевклидовой геометрии сопровождалось также осознанием существования в евклидовой геометрии логических пробелов. Одним из недостатков евклидовых "Начал" было использование допущений, не сформулированных в явном виде. По-видимому, Евклид не подвергал сомнению те свойства, которыми обладали его геометрические фигуры, но эти свойства не были включены в его аксиомы. Кроме того, доказывая подобие двух треугольников, Евклид воспользовался наложением одного треугольника на другой, неявно предполагая, что при движении свойства фигур не изменяются. Но кроме таких логических пробелов, в "Началах" оказалось и несколько ошибочных доказательств.

Создание новых алгебр, начавшееся с квартернионов, породило аналогичные сомнения и в отношении логической обоснованности арифметики и алгебры обычной числовой системы. Все ранее известные математикам числа обладали свойством коммутативности, т. е. ab = ba. Кватернионы, совершившие переворот в традиционных представлениях о числах, были открыты в 1843 У. Гамильтоном (1805 – 1865). Они оказались полезными для решения целого ряда физических и геометрических проблем, хотя для кватернионов не выполнялось свойство коммутативности. Квартернионы вынудили математиков осознать, что если не считать посвященной целым числам и далекой от совершенства части евклидовых "Начал", арифметика и алгебра не имеют собственной аксиоматической основы. Математики свободно обращались с отрицательными и комплексными числами и производили алгебраические операции, руководствуясь лишь тем, что они успешно работают. Логическая строгость уступила место демонстрации практической пользы введения сомнительных понятий и процедур.

Почти с самого зарождения математического анализа неоднократно предпринимались попытки подвести под него строгие основания. Математический анализ ввел два новых сложных понятия — производная и определенный интеграл.