винтовые, зеркально-поворотные, простые поворотные оси любого порядка. Таким образом, бордюры и ленты — стержни особого рода. Примеры стержней — цепи, плетеные канаты, цепные полимерные молекулы, лучи простого и поляризованного света, силовые линии и т. д. На оси стержня можно располагать фигуры с самыми различными, но не выходящими за пределы особого направления элементами симметрии; из всех фигур с особой точкой для этой цели пригодны, таким образом, все конечные фигуры кроме правильных многогранников, содержащих косые оси. Размножение фигур по оси стержня производится с помощью элементов симметрии бесконечных (трансляционные и винтовые оси, плоскость скользящего отражения), а также промежуточных элементов конечных фигур (центра симметрии, поперечной оси второго порядка, зеркально-поворотной оси, поперечной плоскости симметрии). Существует бесконечное множество видов симметрии стержней, сводимых к 17 типам, кристаллографических групп симметрии — 75.

Симметрия двумерная присуща фигурам с двумя особенными направлениями: сетчатым орнаментам и слоям, названия которых по происхождению хотя и связаны с определенного рода бытовыми вещами, тем не менее, также служат лишь родовыми понятиями для обозначения двух гораздо более широких явлений.

Сетчатый орнамент — это фигура без особенной точки, с особенной полярной плоскостью и двумя осями переносов. Примерами его являются плоские орнаменты кристаллических граней, образованные атомами, ионами и молекулами, клеточек биологических срезов и т. д. Бесконечный сетчатый орнамент применяется человеком при производстве паркетных полов, бумажных обоев, ковров и т. д.

Фигуры односторонней розетки симметрии n или n – m (n — ось симметрии порядка n, m — плоскость, точка — знак прохождения n штук плоскостей m вдоль оси n) при их размножении в двух взаимно перпендикулярных направлениях посредством непрерывных переносов а" и а" приводят к односторонним плоским континуумам двоякого рода: а": а": n – m; а": а": n (n = 1:∞) (здесь двоеточие — знак перпендикулярности). Таким образом, возможно бесконечное множество отличных от евклидовых односторонних плоскостей. Замечательно, что только при n = ∞ мы получаем вполне изотропную:

· обыкновенную одностороннюю плоскость симметрии а": а": ∞ – m, которой отвечает, например, гладкая поверхность воды, отражающая световые лучи;