Пространственная симметрия атомной структуры кристаллов описывается пространственными группами симметрии G². Они называются также фёдоровскими в честь нашедшего их в 1890 Е. С. Фёдорова; эти группы были независимо выведены в том же году А. Шёнфлисом. В противоположности точечным группам, которые были получены как обобщение закономерностей форм кристаллических многогранников, пространственные группы явились продуктом математическо-геометрической теории, предвосхитившей экспериментальные определения структуры кристаллов с помощью дифракции рентгеновских лучей.

Характерными для атомной структуры кристаллов операциями являются 3 некомпланарные трансляции а, b, с, которые задают трёхмерную периодичность кристаллической решётки. Кристаллическая решётка рассматривается как бесконечная во всех трёх измерениях. Такое математическое приближение реально, т. к. число элементарных ячеек в наблюдаемых кристаллах очень велико. Перенос структуры на векторы а, b, с или любой вектор t = p1a + p2b + p3c, где p1, p2, p3 — любые целые числа, совмещает структуру кристалла с собой и, следовательно, является операцией симметрии (трансляционная симметрия).

Физическая дискретность кристаллического вещества выражается в его атомном строении. Пространственные группы G² — это группы преобразования в себя трёхмерного однородного дискретного пространства. Дискретность заключается в том, что не все точки такого пространства симметрически равны друг другу, например, атом одного и атом другого сорта, ядро и электроны. Условия однородности и дискретности определяет тот факт, что пространственные группы — трёхмерно периодические, т. е. любая группа G² содержит подгруппу трансляций T — кристаллическую решётку.

Вследствие возможности комбинирования в решётке трансляций и операций точечной симметрии в группах G² кроме операций точечной симметрии возникают операции и соответствующие им элементы симметрии с трансляционной компонентой — винтовые оси различных порядков и плоскости скользящего отражения.

Если задать внутри элементарной ячейки какую-нибудь точку x (x1 x2 x3), то операции симметрии преобразуют её в симметрично равные ей точки во всём кристаллическом пространстве; таких точек бесконечное множество. Но достаточно описать их положение в одной элементарной ячейке, и эта совокупность уже будет размножаться трансляциями решётки. Совокупность точек, выводимых из данной операциями gi группы G — x1, x2,…, xn -1, называют правильной системой точек (ПСТ).