электронов кристалла, при анализе процессов дифракции нейтронов и дифракции электронов в кристаллах с использованием обратного пространства.

Кристаллу может быть присуща не одна, а несколько операций симметрии. Так, кристалл кварца совмещается с собой не только при повороте на 120° вокруг оси 3, но и при повороте вокруг оси 3 на 240°, а также при поворотах на 180° вокруг осей 2x, 2y, 2w. Каждой операции симметрии может быть сопоставлен элемент симметрии — прямая, плоскость или точка, относительно которой производится данная операция. Например, ось 3 или оси 2x, 2y, 2w являются осями симметрии, плоскость m — плоскостью зеркальной симметрии и т. п. Совокупность операций симметрии {g1, g2,…, gN} данного кристалла образует группу симметрии GÎ (g1, g2,… gN) в смысле математической теории групп. Последовательность проведения операций симметрии также является операцией симметрии. В теории групп это обозначается как произведение операций: g1 g2 = g3. Всегда существует операция идентичности g0, ничего не изменяющая в кристалле, называемая отождествлением, она геометрически соответствует неподвижности объекта или повороту его на 360° вокруг любой оси. Число операций, образующих группу, называется порядком группы. Для описания кристаллов используют различные группы симметрии, из которых важнейшими являются точечные группы симметрии, описывающие внешнюю форму кристаллов; их называют также кристаллографическими классами; пространственные группы симметрии, описывающие атомную структуру кристаллов.

Вместо инверсионных поворотов иногда рассматриваются эквивалентные им зеркальные повороты N. Геометрически возможные сочетания операций точечной симметрии определяют ту или иную точечную группу симметрии, которая изображается обычно в стереографической проекции. При преобразованиях точечной симметрии, по крайней мере, одна точка объекта остаётся неподвижной — преобразуется сама в себя. В ней пересекаются все элементы симметрии, и она является центром стереографической проекции.

В кристаллах, ввиду наличия кристаллической решётки, возможны только операции и соответственно оси симметрии до 6-го порядка (кроме 5-го; в кристаллической решётке не может быть оси симметрии 5-го порядка, т. к. с помощью пятиугольных фигур нельзя заполнить пространство без промежутков).