Пользовательского поиска
|
Размещения и сочетания с повторениями
Часто в задачах по комбинаторике
встречаются множества, в которых какие-либо компоненты повторяются. Например: в
задачах на числа – цифры. Для таких задач при размещениях используется формула , а для сочетаний .
Примеры
задач
Сколько трехзначных чисел можно
составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
Решение. Так как порядок цифр
в числе существенен, цифры могут повторяться, то это будут размещения с
повторениями из пяти элементов по три, а их число равно .
В кондитерском магазине продавались
4 сорта пироженных: эклеры, песочные, наполеоны и слоеные. Сколькими способами
можно купить 7 пироженных.
Решение: Покупка не зависит
от того, в каком порядке укладывают купленные пироженные в коробку. Покупки
будут различными, если они отличаются количеством купленных пирожных хотя бы
одного сорта. Следовательно, количество различных покупок равно числу сочетаний
четырех видов пироженных по семь - .
Обезьяну посадили за пишущую машинку
с 45 клавишами, определить число попыток, необходимых для того, чтобы она
наверняка напечатала первую строку романа Л.Н. Толстого «Анна Каренина», если
строка содержит 52 знака и повторений не будет?
Решение: порядок букв имеет
значение. Буквы могут повторяться. Значит, всего есть вариантов.
Перестановки
с повторениями
, где n-количество всех элементов, n1,n2,…,nr-количество
одинаковых элементов.
Примеры задач
Сколькими способами можно
переставить буквы слова «ананас»?
Решение: всего букв 6. Из них
одинаковы n1«а»=3, n2«н»=2, n3«с»=1.
Следовательно, число различных перестановок равно .